Lugares geométricos relacionados con la circunferencia

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. • Una vez descrita la propiedad, se puede optar por: 1) representarla; 2) encontrar su expresión matemática.
 
Ejemplos:
 a) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A(1, −1) y B(2, 0).
b) El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A(2, 3) es doble que la distancia a la recta x – y + 2 = 0.
c) La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos A y B. Esto es, si P es un punto de la mediatriz verificará d(P, A) = d(P, B). (Como sabes, la mediatriz es la recta perpendicular al segmento por su punto medio.)
d) La bisectriz del ángulo determinado por dos rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dichas rectas. Esto es, si P es un punto de la bisectriz verificará d(P, r) = d(P, s). (Como sabes, la bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice divide al ángulo en dos partes iguales.)

La Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto de la circunferencia se llama radio. La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r, es (x − a) 2 + ( y − b) 2 = r ⇔ 2 2 2 (x − a) + ( y − b) = r

Determinación de una circunferencia • Una circunferencia queda determinada dando su centro y su radio. • Una circunferencia queda determinada por tres puntos no alineados. Su ecuación puede obtenerse sustituyendo sus coordenadas en la ecuación (*). • Una circunferencia queda determinada dando dos puntos de ella diametralmente opuestos. • Una ecuación queda determinada su centro y la ecuación de una recta tangente a ella. • Una circunferencia queda determinada dando dos puntos de ella y la recta en la que esté su centro. Para la obtención de su ecuación puede aplicarse alguna de las propiedades siguientes: 1. El centro de una circunferencia se halla en la mediatriz determinada por dos puntos de ella. 2. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente al punto de tangencia.

CÓNICAS

Cónicas: Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Las cónicas son: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies. 

Lugares Geométricos

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

• Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
• Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.