ejercicios de áreas y perímetros en el círculo

En una circunferencia de radio igual a 4 m se inscribe un cuadrado y sobre los lados de este y hacia el exterior se construyen triángulos equiláteros. Hallar el área de la estrella así formada.


A un hexágono regular 4 cm de lado se le inscribe una circunferencia y se le circunscribe otra. Hallar el área de la corona circular así formada.


En una circunferencia una cuerda de 48 cm y dista 7 cm del centro. Calcular el área del círculo.


Los catetos de un triángulo inscrito en una circunferencia miden 22.2 cm y 29.6 cm respectivamente. Calcular la longitud de la circunferencia y el área del círculo.


 Calcular el área de la corona circular determinada por las circunferencias inscrita y circunscrita a un cuadrado de 8 m de diagonal.


Sobre un círculo de 4 cm de radio se traza un ángulo central de 60°. Hallar el área del segmento circular comprendido entre la cuerda que une los extremos de los dos radios y su arco correspondiente.


 Dado un triángulo equilátero de 6 m de lado, hallar el área de uno de los sectores determinado por la circunferencia circunscrita y por los radios que pasan por los vértices.


En un cuadrado de 2 m de lado se inscribe un círculo y en este círculo un cuadrado y en este otro círculo. Hallar el área comprendida entre el último cuadrado y el último círculo.


Determinar el área del cuadrado inscrito en una circunferencia de longitud 18.84 m.


 Calcular el área de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia de radio 6 cm.


La rueda de un camión tiene 90 cm de radio. ¿Cuánto ha recorrido el camión cuando la rueda ha dado 100 vueltas?


El área de un sector circular de 90° es 4π cm. Calcular el radio del círculo al que pertenece y la longitud de la circunferencia.

Teoremas de medias proporcionales

Junto con los conceptos de potencia, la geometría del triángulo rectángulo permite resolver la obtención de medias proporcionales mediante los teoremas denominados de la altura y del cateto.

Antes de enunciar y deducir estos teoremas, recordemos algunos conceptos básicos de proporcionalidad para entender qué es lo que podemos resolver con las construcciones derivadas de estos modelos geométricos.

Media proporcional

Dada la relación matemática x/a=b/x llamamos media proporcional al valor de x, es decir

x= raíz cuadrada de a*b

En los tres casos definidos, la relación puede provenir de modelos basados en la semejanza y por lo tanto de relaciones obtenidas aplicando el teorema de Thales.

Geometría del triángulo rectángulo

Podemos obtener un triángulo rectángulo utilizando como hipotenusa un diámetro de una circunferencia, y como vértice opuesto un punto de la misma, ya que determina un arco capaz de 90 grados sobre dicho diámetro.

Si obtenemos la altura h del triángulo desde el ángulo recto (vértice A) y determinamos su intersección H con la hipotenusa (pie de la altura) podemos determinar tres triángulos rectángulo semejantes:

• ABC
• HAC
• HBA

Teoremas de la altura y del cateto

Aplicando Thales a estos tres triángulos podemos obtener las siguientes relaciones:

Teorema del cateto

El cateto de un triángulo rectángulo es media proporcional entre la hipotenusa y la proyección de dicho cateto sobre la hipotenusa. 

l*l=m*n

los teoremas de ángulos dentro y fuera de la circunferencia

1 Ángulo central

El ángulo central tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son dos radios.
La medida de un arco es la de su ángulo central correspondiente.

2 Ángulo inscrito

El ángulo inscrito tiene su vértice está en la circunferencia y sus lados son secantes a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

El ángulo BAC, inscrito en la circunferencia, mide la mitad del arco que abarca

Vamos a demostrarlo en tres fases:

• Dibuja una circunferencia y un ángulo inscrito en ella, de tal forma que uno de sus lados sea un diámetro. Prueba que el ángulo mide la mitad del arco que abarca. 
• Dibuja una circunferencia y un ángulo inscrito en ella, de tal forma que el centro este entre sus lados. 
• El centro esta fuera del ángulo. 

Ejercicio 2.- Dada una circunferencia O de radio R, se trazan dos cuerdas paralelas, cada una a distinto lado del centro, tales que una de ellas es el lado del triángulo equilátero inscrito y la otra el lado del cuadrado inscrito. Calcular el valor de estas cuerdas y la medida de los cuatro arcos que determinan.

Ejercicio 3.- ¿Cuánto mide el ángulo BAC si BC es un diámetro y A esta sobre la circunferencia?

Ejercicio 4.- Dos triángulos rectángulos tienen la misma hipotenusa y la misma circunferencia circunscrita. Probar que el centro de esta circunferencia es el punto medio de la hipotenusa compartida.

3 Ángulo semi-inscrito

El vértice de ángulo semiinscrito está en la circunferencia, un lado secante y el otro tangente a ella.
Mide la mitad del arco que abarca.

4 Ángulo interior

Su vértice es interior a la circunferencia y sus lados secantes a ella.
Mide la mitad de la suma de las medidas de los arcos que abarcan sus lados y las prolongaciones de sus lados.

5 Ángulo exterior

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Su vértice es un punto exterior a la circunferencia y los lados de sus ángulos son: o secantes a ella, o uno tangente y otro secante, o tangentes a ella:

Lugares geométricos relacionados con la circunferencia

Se llama lugar geométrico a un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad. • Una vez descrita la propiedad, se puede optar por: 1) representarla; 2) encontrar su expresión matemática.
 
Ejemplos:
 a) El lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los puntos A(1, −1) y B(2, 0).
b) El lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia al punto A(2, 3) es doble que la distancia a la recta x – y + 2 = 0.
c) La mediatriz de un segmento AB es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de los extremos A y B. Esto es, si P es un punto de la mediatriz verificará d(P, A) = d(P, B). (Como sabes, la mediatriz es la recta perpendicular al segmento por su punto medio.)
d) La bisectriz del ángulo determinado por dos rectas es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de dichas rectas. Esto es, si P es un punto de la bisectriz verificará d(P, r) = d(P, s). (Como sabes, la bisectriz de un ángulo es la recta que pasando por el vértice divide al ángulo en dos partes iguales.)

La Circunferencia: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro. La distancia del centro a un punto de la circunferencia se llama radio. La ecuación de la circunferencia con centro en C(a, b) y radio r, es (x − a) 2 + ( y − b) 2 = r ⇔ 2 2 2 (x − a) + ( y − b) = r

Determinación de una circunferencia • Una circunferencia queda determinada dando su centro y su radio. • Una circunferencia queda determinada por tres puntos no alineados. Su ecuación puede obtenerse sustituyendo sus coordenadas en la ecuación (*). • Una circunferencia queda determinada dando dos puntos de ella diametralmente opuestos. • Una ecuación queda determinada su centro y la ecuación de una recta tangente a ella. • Una circunferencia queda determinada dando dos puntos de ella y la recta en la que esté su centro. Para la obtención de su ecuación puede aplicarse alguna de las propiedades siguientes: 1. El centro de una circunferencia se halla en la mediatriz determinada por dos puntos de ella. 2. La tangente a una circunferencia es perpendicular al radio correspondiente al punto de tangencia.

CÓNICAS

Cónicas: Son líneas que se determinan al cortar un cono con planos de distinta inclinación. Las cónicas son: circunferencia, elipse, parábola e hipérbola; es importante tener en cuenta que son líneas y no superficies. 

Lugares Geométricos

Es un conjunto de puntos que cumplen una cierta propiedad geométrica determinada, de un modo integrante y excluyente:

• Integrante : todos los puntos que la cumplen pertenecen al lugar geométrico.
• Excluyente : todos los puntos que no la cumplen no están en el lugar geométrico.

Una vez que se establece la propiedad geométrica que define el lugar geométrico, ha de traducirse a lenguaje algebraico de ecuaciones.

Teoremas de ángulos en polígonos

Teorema No. 1. La suma de los ángulos interiores de un polígono es igual a 180° (n-2), donde “n” es el lado, o mejor, el número de lados del polígono.

EJEMPLO:

• Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono regular.

Suma de ángulos interiores    = 180(n-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(5-2)

Suma de ángulos interiores      = 180(3)

Suma de ángulos interiores      = 540°.

Teorema No. 2. Si se quiere calcular el ángulo interior de algún polígono, éste debe ser regular, el valor de cada uno de sus ángulos es el mismo y es igual a la división de la suma de los ángulos interiores entre “n”.

Ángulo interior = 180(n-2)

                               n

EJEMPLO:

• Calcular el ángulo interior de un pentadecágono (15 lados) regular.

Ángulo interior = 180(n-2) = 180(15-2) = 180(13) = 2340 = 156°

                                 n                15             15           15

✿  Teorema No. 3. La suma de los ángulos exteriores de un polígono es de 360°.

Ángulo exterior = 360°

                                 n

EJEMPLO:

 • Calcular el ángulo exterior de un triángulo.

Ángulo exterior = 360° = 360° = 120° 

                              n          3

Teorema No. 4. El número de diagonales que pueden trazarse desde los vértices de un polígono es igual al producto de n(n-3) y todo ello dividido entre 2.

# de / = n(n-3)

              2

EJEMPLO:

• Calcular el número de diagonales de un pentágono regular.

# de / = n(n-3) = 5(5-3) = 5(2)= 10 = 5 diagonales.

                               2             2          2       2 

Conceptos y la clasificación de polígonos

Los polígonos son formas bidimensionales. Están hechos con líneas rectas, y su forma es "cerrada" (todas las líneas están conectadas).

Clasificación de polígonos

Según sus lados
Los polígonos reciben diferentes nombres según el número de lados que poseen. Te invitamos a conocer el nombre de los polígonos de hasta 15 lados:

Según la medida de sus lados
Los polígonos pueden ser regulares e irregulares:

Son polígonos regulares los que tienen todos sus lados y ángulos congruentes, es decir tienen la misma medida.

Irregulares son aquellos en que al menos uno de los lados tiene diferente medida o sus ángulos son diferentes.

Según sus ángulos

Los podemos clasificar en cóncavos o convexos:

Un polígono será convexo, si todos sus ángulos son menores de 180°, por lo tanto, si determinamos dos puntos en su interior y los unimos con un segmento, éste siempre quedará en su interior.

Y será cóncavo, si al menos uno de sus ángulo mide más de 180°. Como muestra la figura, no todos los segmentos trazados entre dos puntos quedarán en su interior.